線性代數與矩陣分析應用

📝 歷屆考古題

• 112年 高等考試 第4題
  矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 1 \ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$，…
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• 112年 高等考試 第6題
  一組聯立方程式以 $A\mathbf{x} = \mathbf{B}$ 的方式表示如下：…
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• 112年 高等考試 第7題
  兩向量分別為 $\vec{H}(t) = 2\hat{i} + 8t\hat{j} + t^2\hat{k}$，$\vec{G}(t) = -3t\hat{i} + 2e^t\hat{j} + \ln(t)\hat{k}$…
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• 112年 高等考試 第8題
  一曲線參數式為 $x(t) = e^t\cos t$，$y(t) = e^t\sin t$，$z(t) = e^t$，$0 \le t \le \pi$，其單位切線向量為何？（其中 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$…
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• 112年 高等考試 第9題
  利用梯度求解曲面 $\phi: xy^3z^2 = 4$ 在 $(-1, -1, 2)$ 點之法向量的過程與結果，以下何者錯誤？（其中 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 為三度空…
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• 112年 高等考試 第12題
  矩陣…
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• 112年 高等考試 第15題
  若 $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & -2 \ 1 & 5 & 3 & -5 \ 2 & -7 & 6 & 4 \ -1 & 3 & 2 & -2 \end{bmatrix}$…
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• 112年 高等考試 第16題
  已知矩陣 $A = \begin{bmatrix} 5 & 4 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 具有特徵向量 $\begin{bmatrix} 4 \ 1 \end{bmatrix}$…
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• 111年 高等考試 第1題
  假設 A 與 B 為維度相同之方陣（square matrix）且 $A, B, A + B$ 均為可逆（invertible）矩陣，則下列何者不一定為可逆矩陣？
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• 111年 高等考試 第2題
  假設矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \ 2 & 2 & 6 \ 0 & 7 & 3 \end{bmatrix}$，…
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• 111年 高等考試 第3題
  若 $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 為從 $\mathbb{R}^3$…
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• 111年 高等考試 第4題
  下列那一個矩陣無法被對角化（diagonalizable）？
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• 111年 高等考試 第5題
  下列那一組 $\mathbb{R}^3$ 中之向量基於歐幾里得內積（Euclidean inner product）可作為規格化正交基底（orthonormal basis）？
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• 111年 高等考試 第6題
  設 T 是 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的線性轉換，$T\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 2 \end{bmatrix}$…
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• 111年 高等考試 第7題
  矩陣 $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 & 4 \ -2 & 4 & 2 & -1 \ 6 & -2 & 4 & 14 \end{bmatrix}$ 的 LU 分解（LU…
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• 111年 高等考試 第8題
  設 $\alpha$ 和 $\beta$ 為矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 2 & 0 \end{bmatrix}$ 之特徵值（eigenvalues），則 $\alpha\beta + \alpha + \beta = ？$
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• 110年 高等考試 第1題
  2 × 2 實數矩陣 Q 的特徵值為 -2、-3。若定義矩陣跡（trace）為對角線元素相加，則 Q 的跡（trace）為何值？
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• 110年 高等考試 第2題
  令 T 和 S 為 $R^3$ 映射至 $R^2$ 的線性轉換（linear transformation），其中 $T(x,y,z)=(x-y, z+y)$ ， $S(x,y,z)=(x+z, x+y)$…
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• 110年 高等考試 第3題
  給定矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \ 5 & 0 & 2 \ 4 & 4 & 1 \ \end{bmatrix}$ ，…
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• 110年 高等考試 第4題
  考慮如下所示之過度限制（over-determined）線性聯立方程式： $\begin{cases} x+y = 3 \ x+2y = -1 \ x+3y = 2 \ x+4y = 7 \end{cases}$…
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• 110年 高等考試 第5題
  考慮一個作用在 $\mathbb{R}^2 = \{(x,y)|x,y \in \mathbb{R}\}$ 的線性轉換（linear transformation）$T$。已知 $T(1, -1) = (3, 2)$…
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• 110年 高等考試 第6題
  考慮如下所示之線性聯立方程式：…
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• 110年 高等考試 第7題
  我們考慮一個矩陣：$\begin{bmatrix} -1 & 3 & 0 \ -2 & x & -1 \ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$，若已知此矩陣為不可逆（not inverti…
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• 109年 高等考試 第1題
  對稱矩陣 $\mathbf{A}$ 其對角化矩陣（diagonal matrix） $\mathbf{D} = \mathbf{P A P}^{-1}$，其中 $\mathbf{P}$ 是正交矩陣，求…
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• 109年 高等考試 第2題
  矩陣 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，令 $\text{det } \mathbf{A} = 6$ 和 $\text{det } \mathbf{B} = 2$，求 $\text{det } \mathbf{A B}^{-1} = ?$
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• 109年 高等考試 第3題
  設 $\mathbf{a}$ 為常數向量（constant vector），$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$，…
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• 109年 高等考試 第5題
  矩陣 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$，求 $e^{\mathbf{A}t} = ?$
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• 109年 高等考試 第6題
  下列矩陣何者的秩（rank）等於 2。
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• 108年 高等考試 第1題
  1. $V$ 及 $W$ 是有限維度的空間向量，$T$ 為 $V \to W$ 的函數，下列敘述何者正確？
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• 108年 高等考試 第2題
  2. 試決定下列各個線性變換 $T$，何者不是一對一線性變換？
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• 108年 高等考試 第3題
  3. 矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \ 2 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}$…
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• 108年 高等考試 第4題
  4. 求 $\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}^{100} = ?$
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• 108年 高等考試 第5題
  5. 線性轉換 $L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$，$L(x,y,z) = (2x+3y+z,3x+3y+z,2x+4y+z)$，試求其逆轉換為何？
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• 108年 高等考試 第6題
  6. 下列何者不是矩陣 $\begin{bmatrix} 5 & 32 & 17 \ 0 & 12 & 2 \ 0 & -2 & 7 \end{bmatrix}$ 的特徵值？
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• 107年 高等考試 第1題
  假設 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 為同階方陣，則① $\text{trace}(\mathbf{AB}) = \text{trace}(\mathbf{BA})$ ②…
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• 107年 高等考試 第2題
  令 $\mathbf{a, b, c}$ 為同維度之三向量，則下列有關其外積（cross product）的敘述何者正確？
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• 107年 高等考試 第3題
  令矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & a & -1 \ 0 & 1 & 1 \ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，若 $\mathbf{A}$ 的…
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• 107年 高等考試 第4題
  已知 $n$ 為任意正整數，$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 及 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ 皆為…
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• 107年 高等考試 第5題
  求出線性轉換 $L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$，$L(x, y, z) = (x - 2y, 2x + y)$ 的代表矩陣為：
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• 107年 高等考試 第6題
  矩陣…
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• 106年 高等考試 第1題
  試求由三點 $P_1(2, 2, 0)$, $P_2(-1, 0, 2)$, $P_3(0, 4, 3)$ 所決定之三角形的面積：
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• 106年 高等考試 第2題
  下列集合中之向量，何者為線性獨立（linearly independent）？
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• 106年 高等考試 第4題
  設 $x$、$y$、$z$ 為任意實數，下列選項何者恆為正確？
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• 106年 高等考試 第5題
  $A = \begin{bmatrix} 1 & -3 \ -2 & 0 \end{bmatrix}$，求 $\cos A$。
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• 106年 高等考試 第6題
  $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，設 $f(x) = 2x^2 - 6x + 3$，試求 $f(A)$…
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• 105年 高等考試 第2題
  求 xy 平面上與正 x 軸夾角為 $0.3\pi$，長度為 3 的向量 $\mathbf{F}$ 為何？
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• 105年 高等考試 第5題
  有一矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 12 \ 5 & 7 & 9 \ 3 & 6 & 2 \end{bmatrix}$，求該矩陣之反矩陣為何？
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• 105年 高等考試 第6題
  以下敘述何者正確？
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• 105年 高等考試 第7題
  設 $\mathbf{A}$ 是一個 $2 \times 2$ 的實方陣，它的特徵值為 1, $-1$，則 $\mathbf{A}^{37} = $？
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• 105年 高等考試 第8題
  設 $\mathbf{A}$ 為 $3 \times 3$ 的矩陣，若 $\mathbf{A}$ 的行列式值 $\det(\mathbf{A}) = -2$，則 $\det(-3\mathbf{A})$…
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• 105年 高等考試 第20題
  若 $\mathbf{F}, \mathbf{G}$ 兩向量正交，則以下敘述何者正確？
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